$q$-全纯序列的次数是二次拟多项式

一个关于变量 $q$ 的有理函数序列称为 $q$-全纯的，如果它满足一个系数为 $q$ 和 $q^n$ 的多项式的线性递归。我们证明了一个 $q$-全纯序列的次数最终是一个二次拟多项式。我们的证明使用了微分伽罗瓦理论（将关于全纯 $D$-模的证明推广到 $q$-全纯 $D$-模的情形），并结合了数论中的 Lech-Mahler-Skolem 定理。在此过程中，我们使用了线性 $q$-差分方程的牛顿多边形，引入了正则奇点 $q$-差分方程的概念，以及线性 $q$-差分方程在 $q=0$ 处的 WKB 解基。然后，我们利用 Lech-Mahler-Skolem 定理来研究其首项系数的消没。与 $q=1$ 的情形不同，这里不存在关于 WKB 解收敛性的解析问题。我们的证明是构造性的，并通过一个显式例子加以说明。