一种统一证明一族恒等式的方法

本文同时给出一种证明方法和一项结果。所提出的证明方法特别适用于统一证明由一族递归序列所满足的恒等式族。为说明该方法，我们研究递归序列族 $F^{(k)}_n = \sum_{i=1}^k F^{(k)}_{n-i}, n \ge 0, k \ge 2,$，其中 $n$ 为在整数上变化的参数，$k$ 为标记该族成员的参数。主要定理陈述为 $F^{(k)}_n = \sum_{j=1}^k P_{k,j} F^{(k)}_{n-jk},$ 其中 $P$ 为满足三角递归 $P_{i,j}=2P_{i-1,j}- P_{i-1,j-1},$ 并具适当初值条件的递归三角形。定理的证明利用了如下事实：恒等式的特征多项式可被生成底层序列的递归的特征多项式整除。