具有给定 $k$ 方向的线段的不相交代表系

我们证明对所有正整数 $n$ 和 $k$，存在整数 $N = N(n,k)$ 满足如下性质。若 $U$ 是平面中一组 $k$ 个方向向量，且 $\mathcal{J}_U$ 为对所有 $u\in U$ 沿方向 $u$ 的全体线段的集合，则对每 $N$ 个族 $\mathcal{F}_1, \ldots, \mathcal{F}_N$（每个由 $\mathcal{J}_U$ 中 $n$ 条互不相交的线段组成），存在 $\bigcup_{1\leq i\leq N}\mathcal{F}_i$ 中 $n$ 条互不相交的线段集合 $\{A_1, \ldots, A_n\}$ 及互异整数 $p_1, \ldots, p_n\in \{1, \ldots, N\}$ 使得对所有 $j\in \{1, \ldots, n\}$ 有 $A_j\in \mathcal{F}_{p_j}$。我们将这一关于固定 $k$ 方向底层直线的属性推广到满足特定条件的 $k$ 族简单曲线。