一类具有大周期的数字函数族

对于奇数 $n\ge3$，我们考虑一个关于区间 $[0,x)$ 内以 $n-1$ 为基数时 $n$ 的倍数中数字和为偶数与奇数之差 $S_{n,0}(x)$ 的通用假设恒等式；我们在 $n=3$ 和 $n=5$ 的情况下证明了该恒等式，并对其他一些 $n$ 进行了经验确认。我们给出了针对任意奇数 $n$ 验证该恒等式的算法。该假设恒等式允许为每个整数 $x$ 给出 $S_{n,0}(x)$ 的通用递归，该递归取决于 $x$ 模 $p(n)=2n(n-1)^{n-1}$ 的余数，例如 $p(3)=24$，$p(5)=2560$，$p(7)=653184$ 等。