强整除序列最小公倍数相关的恒等式与估计

在本文中，我们首先证明：对于任意强整除序列 $\boldsymbol{a} = \left(a_n\right)_{n\geq 1}$，均有恒等式：$\mathrm{lcm} \left\lbrace \binom{n}{0}_{\bf{a}}, \binom{n}{1}_{\bf{a}},\dots, \binom{n}{n}_{\bf{a}} \right\rbrace = \frac{\mathrm{lcm} \left(a_1,\dots , a_n , a_{n+1}\right)}{a_{n+1}}$ $\left(\forall n \geq 1\right)$，该式推广了 Farhi 于 2009 年对 $a_n=n$ 所得之恒等式。继而，我们由此导出若干其他有趣的恒等式。最后，我们将这些恒等式应用于估计某些 Lucas 序列连续项的最小公倍数。以 $\left(F_n\right)_n$ 表示通常的 Fibonacci 序列，我们证明例如对所有 $n \geq 1$，有 $$\Phi^{\frac{n^2}{4}-\frac{9}{4}} \leq \mathrm{lcm}\left(F_1,\dots,F_n\right) \leq \Phi^{\frac{n^2}{3}+\frac{4n}{3}} ,$$ 其中 $\Phi$ 表示黄金比。