Catalan 结构的一种普适双射
组合数学
2019-05-28 v2
摘要
Catalan magma 是一种仅含一个不可约元的唯一分解赋范 magma。该赋值将基集划分为由 Catalan 数计数的子集。主要定理刻画了带乘积映射的集合 a 为满足由不可约元生成的自由 magma 所必须具备的条件。此定理可用于证明某对象集（带乘积映射）是 Catalan magma。Catalan magma 之间的同构给出一种“普适”双射——本质上对所有对象对族只有一个双射算法。态射性质保证了该双射是递归的。该普适双射使我们能严谨化 Catalan 对象间“嵌入”双射的思想，并在许多情形下展示如何将一个 Catalan 族的元素嵌入到另一不同族的元素中。右（相应左）乘生成元得到右（相应左）Narayana 统计量。该统计量在普适双射下不变，从而允许我们确定任一 Catalan 族的何种结构与此细分相关联。我们讨论了 Catalan 族的符号方法与由符号方法定义的基集上的 magma 结构之间的关系。这显示了哪些“原子”元也是不可约的。附录给出了 14 个 Catalan 族的 magma 结构。
引用
@article{arxiv.1808.09078,
title = {A Universal Bijection for Catalan Structures},
author = {Richard Brak},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.09078},
year = {2019}
}
备注
Changes: i) Updated magma section to Universal Mapping approach motivating universal bijection terminology, ii) replaced embedded bijection section iii) fixed 321-avoiding product definition, iv) fixed typos