正则拟阵、带状多面体与艾哈特理论的几何双射

设 $M$ 为正则拟阵。$M$ 的雅可比群 ${\rm Jac}(M)$ 是一个有限阿贝尔群，其基数等于 $M$ 的基的个数。该群推广了图 $G$ 的雅可比群（也称为临界群或沙堆群）${\rm Jac}(G)$ 的定义（此时相应正则拟阵的基为 $G$ 的生成树）。文献中存在许多图 $G$ 的雅可比群 ${\rm Jac}(G)$ 与生成树之间的显式组合双射。然而，大多数已知双射以某种本质方式使用了 $G$ 的顶点，并且本质上是“非拟阵的”。本文中，我们构造了正则拟阵 $M$ 的雅可比群与 $M$ 的基之间的一族显式且易于描述的双射，其中许多实例即使在图的情形下也是新的。我们首先以纯组合的方式就定向给出双射族；更具体地，我们证明 $M$ 的雅可比群在 $M$ 的回路-余回路反转类集合 ${\mathcal G}(M)$ 上容许一个典范单传递作用，然后定义 ${\mathcal G}(M)$ 与 $M$ 的基之间的一族组合双射 $\beta_{\sigma,\sigma^*}$。（此处 $\sigma$（相应地 $\sigma^*$）是 $M$ 的回路（相应地余回路）集合的无环签名。）随后，我们给出每个此类映射 $\beta=\beta_{\sigma,\sigma^*}$ 的几何解释，其基于带状多面体细分，并用于验证 $\beta$ 确为双射。最后，我们给出带状多面体 $Z$ 中格点的组合解释；通过取膨胀，我们得到了联系 $Z$ 的艾哈特多项式与 $M$ 的塔特多项式的斯坦利公式的新推导。