覆盖地图的双射，或Harer-Zagier公式与Jackson公式之间的捷径

我们考虑可定向曲面上的地图。如果一个地图只有一个面，则称为单胞地图。覆盖地图是一个（亏格为$g$的）地图，其中标记了一个单胞生成子地图（该子地图的亏格可以是$\{0,1,...,g\}$中的任意值）。我们的主要结果是：在具有$n$条边、亏格为$g$的覆盖地图，与由一棵具有$n$条边的平面树和一个具有$n+1$条边、亏格为$g$的单胞二分地图组成的对之间，存在一个双射。在平面情形下，覆盖地图是带有标记生成树的地图，我们的双射特化为第一作者在\cite{OB:boisees}中得到的构造。覆盖地图也可以看作两个单胞地图的混洗（一个代表单胞子地图，另一个代表对偶单胞子地图）。因此，我们的双射给出了单胞地图的混洗与由平面树和单胞二分地图组成的对之间的对应关系。在计数方面，这建立了Harer和Zagier关于一般单胞地图的公式与Jackson关于二分单胞地图的公式之间的等价性。我们还证明了Bouttier、Di Francesco和Guitter \cite{BDFG:mobiles}（该工作推广了Schaeffer \cite{Schaeffer:these}之前的双射）在二分地图与所谓良好标记的移动树之间的双射，可以作为我们双射的一个特例得到。