单胞映射的一个新组合恒等式：基于直接双射方法
组合数学
2012-03-15 v1
摘要
单胞映射，或单面映射，是一个嵌入到可定向曲面中的图，使得其补集是一个拓扑圆盘。在本文中，我们通过描述任何单胞映射分解为具有更小亏格的单胞映射，给出了这些对象结构的一个新视角。这为大小为、亏格为的单胞映射的数量提供了一个新的组合恒等式。与Harer-Zagier递推公式相反，这个恒等式仅在一个参数（亏格）上是递归的。迭代该构造给出了单胞映射与具有标记顶点的平面树之间的一个显式双射，这为是第个卡特兰数与一个的多项式的乘积这一事实提供了组合解释（和证明）。该组合解释还给出了该多项式的一个新的简单公式。我们还考虑了问题的变体，例如二分单胞映射，或仅具有三次顶点的单胞映射。
引用
@article{arxiv.1006.5053,
title = {A new combinatorial identity for unicellular maps, via a direct bijective approach},
author = {Guillaume Chapuy},
journal= {arXiv preprint arXiv:1006.5053},
year = {2012}
}