错排与非错排中自然涌现的映射

错排是无不动点的排列，非错排是至少有一个不动点的排列。n 个元素的错排数目有一个单项递推式，我们描述了该递推式的一个双射证明，它可通过一个递归映射得到。随后我们展示了该双射的组合解释，以及它与其他已知双射的比较，并说明这如何给出 $\mathfrak{S}_n$ 上的一个对合。非错排满足类似的递推式。我们将错排单项恒等式的双射证明转化为非错排单项恒等式的双射证明。