关于置换的内部结构：双色划分与欧拉数、树与原语
组合数学
2013-04-05 v1
摘要
我们提出了一种双射算法，通过该算法任意置换可以规范地分解为基本块，我们称之为族 (families)，即具有指定数量的上升和下降的集合。我们证明了以任意顺序排列在序列中的族与置换之间存在双射关系。通过插入括号，置换可以规范地分解为一棵树，其节点是一类我们称为原语 (primitive) 的置换。原语置换可以由非常简单的数据组装而成。置换分解成的树的数据可以写成类似于图书馆十进制分类法的形式。我们将这些数据公理化。它具有与其所编码的置换截然不同的结构，包含洗牌 (shuffles) 和配对 (pairings) 而非重排。这些结构类似于量子场论中的基本过程。我们的主要双射结构算法给出了具有给定对角线上下元素集或给定上升和下降值的置换数量的显式加法多项式公式。以此方式获得的多项式表达式给出了一类新的双色集合统计量，介于集合划分和集合组合之间，称为移位多项式 (shifted multinomials)。这些表达式首次为欧拉数 (Eulerian numbers) 和错排数 (derangements) 提供了加法多项式表达式，作为一系列新组合对象的一部分。这些多项式表达式满足仅涉及直接邻居的归纳关系，类似于欧拉数所满足的关系。
引用
@article{arxiv.1304.1263,
title = {On the inner structure of a permutation: Bicolored Partitions and Eulerians, Trees and Primitives},
author = {Adrian Ocneanu},
journal= {arXiv preprint arXiv:1304.1263},
year = {2013}
}