$\kappa^{\star}_{g}(n)$ 系数的组合解释

在研究曲线模空间的虚拟欧拉示性数时，Harer 和 Zagier 计算了亏格为 $g$ 的单胞地图的生成函数 $C_g(z)$。他们进一步确定了系数 $\kappa^{\star}_{g}(n)$，这些系数完全决定了级数 $C_g(z)$。本文的主要结果是对 $\kappa^{\star}_{g}(n)$ 的组合解释。我们证明了这些系数枚举了一类单胞地图，该类地图与一种称为 O-tree 的特定树类之间存在 $1$-to-$2^{2g}$ 的对应关系。O-tree 是 Chapuy、F\'{e}ray 和 Fusy 引入的 C-装饰树的一种变体。我们详尽地枚举了具有 $n$ 条边的亏格 $g$ 的形状数量 $s_{g}(n)$，这是一类顶点度数至少为三的特殊单胞地图。此外，我们给出了组合证明，分别用 $\kappa^{\star}_{g}(n)$ 表达了单胞地图和形状的生成函数 $C_g(z)$ 和 $S_g(z)$。随后，我们证明了 $\kappa^{\star}_{g}(n)$ 的两项递推关系，并证明了对于任意固定的 $g$，序列 $\{\kappa_{g,t}\}_{t=0}^g$ 是对数凹的，其中当 $n=2g+t-1$ 时 $\kappa^{\star}_{g}(n)= \kappa_{g,t}$。