线性弦图的计数

线性弦图规范地确定了一个胖图，因此具有关联的亏格$g$。我们计算了自然生成函数${\bf C}_g(z)=\sum_{n\geq 0} {\bf c}_g(n)z^n$，其中${\bf c}_g(n)$是固定亏格$g\geq 1$且给定弦数$n\geq 0$的线性弦图的数量，并得到了一个非常简单的公式${\bf C}_g(z)=z^{2g}R_g(z) (1-4z)^{{1\over 2}-3g}$，其中$R_g(z)$是次数至多为$g-1$的多项式，具有整系数，满足$R_g({1\over 4})\neq 0$和$R_g(0) = {\bf c}_g(2g)\neq 0$。特别地，${\bf C}_g(z)$在$\mathbb C(z)$上是代数的，这推广了Catalan数的生成函数${\bf C}_0(z)$的相应经典事实。作为推论，我们还计算了与打结RNA二级结构计数相关的另一个生成函数，该函数同样被发现是代数的。