组合类、超椭圆轨迹与 Hodge 积分

得到了曲线模空间中超椭圆 Weierstraß 点轨迹上示性类积分 $\int_{\mathcal{\bar{H}}_g^1}\kappa_{1}\psi^{2g-2}$ 的闭公式。作为一个推论,得到了 Hodge 积分之间的一个关系。该计算利用了曲线模空间 $\mathcal{M}_{g,1}$ 与组合模空间 $\mathcal{M}^{comb}_{g,1}$ 之间的同胚,后者是一个 PL-orbifold,其胞腔由胖图枚举。这种胞腔分解可用于自然地构造组合 PL-链 $W_a\subset\mathcal{M}^{comb}_{g,1}$,其同调类本质上是 Mumford-Morita-Miller 类 $\kappa_a$ 的 Poincaré 对偶。在本文中我们构造了另一个 PL-链 $\mathcal{H}^{comb}_g \subset \mathcal{M}^{comb}_{g,1}$ 表示超椭圆 Weierstraß 点轨迹,并明确描述该链与 $W_1$ 在链水平上的相交。利用 $\mathcal{H}^{comb}_g\cap W_1$ 的这一描述、Witten 链 $W_a$ 与 $\kappa_a$ 类之间的对偶性,以及 Kontsevich 积分 $\psi$ 类的方案,积分 $\int_{\mathcal{\bar{H}}_g^1}\kappa_{1}\psi^{2g-2}$ 被化为关于图的加权和,并通过树的枚举求值。