$\mathbb{Z}_2$ Hurwitz-Hodge 积分的多项式性

利用稳定映射空间到栈商 $[\mathbb{P}^1/\mathbb{Z}_2]$ 上的 Atiyah-Bott 局部化，我们找到了递归关系，可确定超椭圆轨迹 $\overline{\mathcal{H}}_{g, 2g + 2} \subseteq \overline{\mathcal{M}}_{g, 2g + 2}$ 上单标记点处带 descendent 插入的所有 Hodge 积分。我们递归所需的初值为单标记点处的引力 descendent，已知其为 $\frac{1}{2}$。我们发现关于这些相交数的一种新结构：对固定的 $\lambda$-类的单项式，所得的超椭圆 Hodge 积分族关于 $g$ 是多项式的。我们提出了一个关于这些多项式系数对数凹性的猜想。最后，我们将递归转化为超椭圆 Hodge 积分生成函数的非线性偏微分方程组。