一点的 Gromov-Witten 势、Hurwitz 数与 Hodge 积分
代数几何
2007-05-23 v1 组合数学
摘要
Hurwitz 数计数射影直线的某些覆盖(或等价地,置换分解为对换的乘积),已被广泛研究逾一个世纪。一点的 Gromov-Witten 势 F(曲线模空间上 Hodge 积分的生成级数)是 Gromov-Witten 理论中的核心研究对象。我们定义了一个略微丰富的 Gromov-Witten 势 G(包含涉及一个“lambda 类”的积分),并证明在经过非平凡变量替换后,在正亏格下有 G=H,其中 H 为 Hurwitz 数的生成级数。我们证明了 Goulden 与 Jackson 关于高亏格 Hurwitz 数的猜想,该猜想结果上是 Itzykson 与 Zuber 的亏格展开猜测的类似物。作为推论,我们得到了关于 F 的新的组合约束,以及对 Itzykson 与 Zuber 猜测更为直接的证明。我们能给出 Hurwitz 数的递归式与显式公式;所呈现的算法应当能证明“所有”此类递归式。此外,存在比先前从几何预期更多的递归式(且确实应在所有亏格中存在);作为例子我们给出了亏格不超过 3 的惊人简单的新递归式,它们在几何上神秘。由于我们预期本文也能引起组合学家的兴趣,我们力求使其尽可能自包含,包括回顾代数与辛几何及数学物理中熟知的一些结果与定义。
引用
@article{arxiv.math/9910004,
title = {The Gromov-Witten potential of a point, Hurwitz numbers, and Hodge integrals},
author = {Ian Goulden and David Jackson and Ravi Vakil},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9910004},
year = {2007}
}
备注
21 pages