$\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^r$ 的格罗莫夫-威滕不变量

我们给出一种图求和算法，将对称积 orbifold $\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^r:=[(\mathbb{P}^r)^d/S_d]$ 的任意亏格-$g$ 格罗莫夫-威滕不变量用“Hurwitz-Hodge 积分”——（紧化）Hurwitz 空间上的积分——表示出来。我们应用该算法证明了 $\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^r$ 在零亏格时的部分镜像定理。该定理指出，$\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^r$ 的格罗莫夫-威滕不变量生成函数等于一个显式幂级数 $I_{\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^r},$ 条件是一个猜想的组合恒等式成立。这是朝着证明 $\mathrm{Sym}^d\mathbb{P}^2$ 的粗模空间的解 $\mathrm{Hilb}^{(d)}(\mathbb{P}^2)$ 的 Ruan 的剖分分辨率猜想 (Crepant Resolution Conjecture) 迈出的第一步。