对正规性概念的新审视

设 $G$ 为可数消去 amenable 半群，$(F_n)$ 为 $G$ 中的（左）F{\o}lner 序列。我们引入 $\{0,1\}^G$ 中 $(F_n)$-正规元的概念。当 $G=(\mathbb N,+)$ 且 $F_n=\{1,2,...,n\}$ 时，$(F_n)$-正规性与经典概念一致。我们证明：\bullet 若 $(F_n)$ 为 $G$ 中的 F{\o}lner 序列，使得对每个 $\alpha\in(0,1)$ 有 $\sum_n \alpha^{|F_n|}<\infty$，则几乎每个 $x\in\{0,1\}^G$ 都是 $(F_n)$-正规的。\bullet 对 $G$ 中任意 F{\o}lner 序列 $(F_n)$，存在 Cham\-per\-nowne 型 $(F_n)$-正规集。\bullet 在 $(\mathbb N,\times)$ 中存在一类自然的“好”F{\o}lner 序列。存在一个 Champernowne 型集，它对每个好 F{\o}lner \sq 都是 $(F_n)$-正规的。\bullet 设 $A\subset\mathbb N$ 为经典正规集。则对 $(\mathbb N,\times)$ 中任意 F{\o}lner 序列 $(K_n)$，存在 $(K_n)$-密度为 $1$ 的集 $E$，使得对任意有限子集 $\{n_1,n_2,\dots,n_k\}\subset E$，交 $A/{n_1}\cap A/{n_2}\cap\ldots\cap A/{n_k}$ 在 $(\mathbb N,+)$ 中具有正上密度。由此，$A$ 包含任意长的几何级数，更一般地，包含形如 $\{a(b+ic)^j,0\le i,j\le k\}$ 的任意长“几何-算术”构型。\bullet 对 $(\mathbb N,+)$ 中任意 F{\o}lner \sq $(F_n)$，存在不可数多个 $(F_n)$-正规 Liouville 数。\bullet 对 $(\mathbb N,\times)$ 中任意好 F{\o}lner 序列 $(F_n)$，存在不可数多个 $(F_n)$-正规 Liouville 数。