保持长度的变换半群的正则性

设 $X_n = \{1,2,\dots,n\}$ 为有限集 $(n\geq 2)$，$T_n$ 为 $X_n$ 上的全变换半群。对于正整数 $l\leq n-1$，我们定义 $$T_n(l) = \{\alpha\in T_n \colon \forall x,y\in X_n,\, |x-y| = l \;\Rightarrow\; |x\alpha - y\alpha| = l\}$$ 和 $$T^*_n(l) = \{\alpha\in T_n \colon \forall x,y\in X_n,\, |x-y| = l \;\Leftrightarrow\; |x\alpha - y\alpha| = l\}.$$ 则 $T_n(l)$ 和 $T^*_n(l)$ 是 $T_n$ 的子半群。本文给出了 $T_n(l)$ 为正则半群的充要条件。此外，我们证明了 $T^*_n(l)$ 是一个正则半群。