保持双向等价关系的变换半群的正则部分

设 $T(X)$ 为集合 $X$ 上在函数的复合运算下的全变换半群。对 $X$ 上任意等价关系 $E$，定义 $T(X)$ 的子半群 $T_{E^*}(X)$ 为 $$T_{E^*}(X)=\{\alpha\in T(X):\text{对所有}\ x,y\in X, (x,y)\in E\Leftrightarrow (x\alpha,y\alpha)\in E\}.$$ 本文证明 $T_{E^*}(X)$ 的正则部分（记为 $\mathrm{Reg}(T)$）是 $T_{E^*}(X)$ 的最大正则子半群，并刻画了其 Green 关系与理想。此外，我们找到了 $\mathrm{Reg}(T)$ 的核，它是一个右群且可写为对称群的并。最后，我们证明每个右群均可嵌入该核中。