全变换半群的交叉连接及其变体

由 K. S. S. Nambooripad 提出的交叉连接理论，利用主左（右）理想的范畴描述了正则半群的理想结构。对于任意 $\theta \in \mathscr{T}_X$，全变换半群 $(\mathscr{T}_X,\cdot)$ 的一个变体 $\mathscr{T}_X^\theta$ 是指具有二元运算 $\alpha \ast \beta = \alpha\cdot\theta\cdot\beta$（其中 $\alpha, \beta \in \mathscr{T}_X$）的半群 $\mathscr{T}_X^\theta= (\mathscr{T}_X,\ast)$。在本文中，我们利用交叉连接描述了全变换半群变体的正则部分 $Reg(\mathscr{T}_X^\theta)$ 的理想结构。我们刻画了 $Reg(\mathscr{T}_X^\theta)$ 的组成范畴，并描述了它们如何通过由夹层变换 $\theta$ 诱导的函子进行“交叉连接”。这引导我们得到了该半群的一个结构定理，并给出了 $Reg(\mathscr{T}_X^\theta)$ 作为交叉连接半群的表示。利用这一点，我们给出了该半群的双序集和夹层集的描述。