有限全变换半群的变体

半群 $S$ 关于其元素 $a \in S$ 的变体（记为 $S^a$）是指具有底层集合 $S$ 且运算 $*$ 定义为 $x*y=xay$（其中 $x,y \in S$）的半群。在本文中，我们研究有限集 $X$ 上全变换半群 $T_X$ 的变体 $T_X^a$。我们探讨了 $T_X^a$ 的结构及其子半群 $\text{Reg}(T_X^a)$（由所有正则元素组成）和 $E_X^a$（由所有幂等元的乘积组成），以及 $\text{Reg}(T_X^a)$ 的理想。除其他结果外，我们计算了每个半群的秩和幂等元秩（如果适用），并在可能的情况下计算了最小可能大小的（幂等）生成集的数量。