保分拆变换半群中的正则、单位正则与幂等元

设 $X$ 为一集合，$\mathcal{T}_X$ 为 $X$ 上的全变换半群。对 $X$ 的一个分拆 $\mathcal{P}$，我们考虑半群 $T(X, \mathcal{P}) = \{f\in \mathcal{T}_X| (\forall X_i\in \mathcal{P}) (\exists X_j \in \mathcal{P})\;X_i f \subseteq X_j\}$，$\Sigma(X, \mathcal{P}) = \{f\in T(X, \mathcal{P})|(\forall X_i \in \mathcal{P})\; Xf \cap X_i \neq \emptyset\}$，以及 $\Gamma(X, \mathcal{P}) = \{f\in \mathcal{T}_X|(\forall X_i\in \mathcal{P})(\exists X_j\in \mathcal{P})\; X_i f = X_j\}$。我们对有限 $X$ 情形刻画了 $T(X, \mathcal{P})$ 与 $\Sigma(X, \mathcal{P})$ 的单位正则元。我们讨论 $\Gamma(X, \mathcal{P})$ 与某些保 $\mathcal{P}$ 变换半群之间的集合包含关系。我们刻画并计数了 $\Gamma(X, \mathcal{P})$ 的正则元与幂等元。对有限 $X$，我们证明 $\Gamma(X, \mathcal{P})$ 的每个正则元都是单位正则元，并计算了 $\Gamma(X, \mathcal{P})$ 的基数。