均匀划分的自同态幺半群中的幂等元生成

用$\mathcal T_n$和$\mathcal S_n$分别表示集合$\{1,\ldots,n\}$上的全变换半群和对称群，并令$\mathcal E_n=\{1\}\cup(\mathcal T_n\setminus \mathcal S_n)$。设$\mathcal T(X,\mathcal P)$表示有限集$X$上保持$X$的均匀划分$\mathcal P$的所有变换的集合，其中$\mathcal P$将$X$划分为$m$个大小为$n$的子集，且$m,n\geq2$。我们枚举了$\mathcal T(X,\mathcal P)$的幂等元，并描述了由幂等元$E=E(\mathcal T(X,\mathcal P))$生成的子半群$S=\langle E\rangle$。我们证明了$S=S_1\cup S_2$，其中$S_1$是$m$个$\mathcal E_n$副本的直积，而$S_2$是$\mathcal T_n$与$\mathcal T_m\setminus \mathcal S_m$的 wreath 积。我们计算了$S$的秩和幂等元秩，证明二者相等，并对所有最小规模的幂等元生成集进行了分类和枚举。在此过程中，我们还获得了关于$\mathcal E_n$任意幂等元生成集的新结果。