奇异圈积的表示

对于幺半群 $M$ 和全变换半群 $T_n$ 的子半群 $S$，圈积 $M\wr S$ 被定义为半直积 $M^n\rtimes S$，其中 $S$ 对 $M^n$ 的作用是逐坐标作用。全圈积 $M\wr T_n$ 同构于 $n$ 个生成元上的自由 $M$-act 的自同态幺半群。这里，我们特别感兴趣的是 $S=Sing_n$ 为 $T_n$ 的奇异部分的情况，该部分由所有不可逆变换组成。我们的主要结果是给出 $M\wr Sing_n$ 基于某些自然生成集的表示，并通过半直积和圈积的一般结果加以证明。我们重新证明了 Bulman-Fleming 的一个经典结果，即 $M\wr Sing_n$ 是幂等生成的当且仅当 $M$ 的 $L$-类集合 $M/L$ 在 $L$-类的通常序下构成一条链，并且对于这样的幺半群 $M$，我们给出了 $M\wr Sing_n$ 基于幂等生成元的表示。在其他结果中，我们还给出了 $M\wr Sing_n$ 生成集最小大小的估计，以及在某些情况下的精确值（包括 $M$ 有限且 $M/L$ 为链的情况，在此情况下我们还计算了幂等生成集的最小大小）。作为结果的应用，我们获得了有限集的一致划分的自同态幺半群的幂等生成子半群的一个（基于幂等生成元的）表示。