自由幂等元生成半群与自由 $G$-act 的自同态幺半群

对双序集 $E$ 上的自由幂等元生成半群 $\mathrm{IG}(E)$ 的研究始于 Nambooripad 在 20 世纪 70 年代的开创性工作，最近随着多种几何和组合新方法的涌现而复兴。在此，我们研究 $E$ 为 wreath 积 $G\wr \mathcal{T}_n$ 的双序集时的 $\mathrm{IG}(E)$，其中 $G$ 是一个群，$\mathcal{T}_n$ 是 $n$ 个元素上的全变换幺半群。该 wreath 积同构于 $n$ 个生成元上的自由 $G$-act $F_n(G)$ 的自同态幺半群，这为我们提供了一种便捷的方法。我们将 $F_n(G)$ 中元素的秩定义为其像中 (自由) 生成元的最小数量。设 $\varepsilon=\varepsilon^2\in F_n(G)$。出于相当直接的原因，已知如果 $\mathrm{rank}\,\varepsilon =n-1$（分别为 $n$），则包含 $\varepsilon$ 的 $\mathrm{IG}(E)$ 的最大子群是自由的（分别为平凡的）。我们证明，如果 $\mathrm{rank}\,\varepsilon =r$，其中 $1\leq r\leq n-2$，则包含 $\varepsilon$ 的 $\mathrm{IG}(E)$ 的最大子群同构于 $F_n(G)$ 中的相应子群，从而同构于 $G\wr \mathcal{S}_r$，其中 $\mathcal{S}_r$ 是 $r$ 个元素上的对称群。我们此前已在 $r=1$ 的情况下证明了此结果；然而，对于更高秩的情况，需要更复杂的方法。我们目前的证明涵盖了 $r=1$ 的情况，从而提供了另一种证明任何群都可作为某个 $\mathrm{IG}(E)$ 的最大子群出现的方法。另一方面，再次改变 $r$ 并取 $G$ 为平凡群，我们获得了 Gray 和 Ru\v{s}kuc 关于 $\mathcal{T}_n$ 的幂等元双序集近期结果的另一种证明。