作为对称群的互斥并集的变换幂半群

设X为非空集合，T(X)为X上的全变换半群。对于X上的任意等价关系E，定义T_{E^*}(X)为T(X)的子半群：$$T_{E^*}(X)=\{\alpha\in T(X):\text{for all}\ x,y\in X, (x,y)\in E\Leftrightarrow (x\alpha,y\alpha)\in E\}.$$ 我们考察T_{E^*}(X)的regular部分，记为$\mathrm{Reg}(T)$，它是T_{E^*}(X)中最大的regular子半群。定义子半群Q_{E^*}(X)为T_{E^*}(X)的子半群：$$Q_{E^*}(X)=\{\alpha\in T_{E^*}(X):|A\alpha|=1\ \text{and}\ A\cap X\alpha\neq\emptyset\ \text{for all}\ A\in X/E\}.$$ 然后我们可以证明，该子半群是$\mathrm{Reg}(T)$的(唯一的)最小ideal，称为$\mathrm{Reg}(T)$的kernel。在本文中，我们将计算Q_{E^*}(X)的秩当X为有限集的情况，并证明一个同构定理。最后，我们描述并计数所有关于Q_{E^*}(X)的maximal子半群，其中X为有限集。