奇异变换半群的交叉连接

交叉连接是一种利用称为正规范畴的某些范畴来构造正则半群的方法，这些范畴是半群的主左（右）理想偏序集的抽象。我们描述了集合 $X$ 上所有非可逆变换构成的半群 $Sing(X)$ 中的交叉连接。所涉及的范畴被刻画为幂集范畴 $\mathscr{P}(X)$ 和划分范畴 $\Pi(X)$。我们描述这些范畴并展示 $X$ 上的置换如何产生一个交叉连接。进一步，我们证明它们之间的每个交叉连接都是由一个置换诱导的，并构造了由这些交叉连接产生的正则半群。我们证明以这种方式得到的每个交叉连接半群都同构于 $Sing(X)$。我们还描述了 $Sing(X)$ 的右约化子半群，其主左理想范畴同构于 $\mathscr{P}(X)$。本研究阐明了更一般的交叉连接理论，并提供了研究 $Sing(X)$ 结构的另一种方法。