集合与超滤子的 F-有限可嵌入性

设 $S$ 为一个半群，$n\in\mathbb{N}$ 为正自然数，$A,B\subseteq S$，$\mathcal{U},\mathcal{V}\in\beta S$，且 $\mathcal{F}\subseteq\{f:S^{n}\rightarrow S\}$。若对每个有限集 $F\subseteq A$，存在函数 $f\in\mathcal{F}$ 使得 $f\left(A^{n}\right)\subseteq B$，则称 $A$ 在 $B$ 中是 $\mathcal{F}$-有限可嵌入的；若对每个集合 $B\in\mathcal{V}$，存在集合 $A\in\mathcal{U}$ 使得 $A$ 在 $B$ 中是 $\mathcal{F}$-有限可嵌入的，则称 $\mathcal{U}$ 在 $\mathcal{V}$ 中是 $\mathcal{F}$-有限可嵌入的。我们表明 $\mathcal{F}$-有限可嵌入性可用于研究与有限结构相关的集合和超滤子的某些组合性质。我们引入了关于 $\mathcal{F}$-有限可嵌入性极大的集合和超滤子的概念，并在非常弱的假设下证明了其存在性。选择不同的 $\mathcal{F}$ 可用于将许多具有组合意义的集合/超滤子刻画为极大集合/超滤子，例如厚集、AP-富集集、$\overline{K(\beta S)}$ 等。关于 $\mathcal{F}$-有限可嵌入性的极大超滤子集合可以用代数方式通过 $\mathcal{F}$ 进行刻画。这一性质可用于对某些有趣的超滤子集合给出代数刻画，例如那些元素分别包含任意长算术、几何算术或多项式进展的超滤子。作为关于 $\mathcal{F}$-有限可嵌入性极大的集合与超滤子之间联系的结果，我们能够证明一个一般性结论，该结论蕴含：例如，给定一个包含任意长几何算术（或多项式）进展的集合的有限划分，其中必有一个胞腔包含任意长的几何算术（或多项式）进展。