Drinfeld 模的除子点的分配性质与判别式

我们提出了秩为 $r \in \mathbb{N}$ 的分配与导出分配的新概念,适用于具有一个特定素点 $\infty$ 的全局函数域 $K$。它能够描述上述数据的固定秩 $r$ Drinfeld 模或相应的模形式中除子点、同源和判别式之间的关系。我们引入并研究了三个基本的分配,其值分别在 $\mathbb{Q}$ 中、在 $K$ 的代数闭包 $\overline{K}$ 中的单位根群 $\mu(\overline{K})$ 中,以及在 $K_{\infty}$ 的完备代数闭包 $C_{\infty}$ 的 $1$-单位群 $U^{(1)}(C_{\infty})$ 中。由此得到了除子点和判别式的乘积公式,这些公式涵盖了已知结果(例如秩 $1$ 情况下 $(2\pi i)^{2}$ 的 Wallis 公式类比,秩 $2$ 情况下 Jacobi 公式 $\Delta = (2\pi i)^{12} q \prod (1-q^{n})^{24}$ 的类比,以及 $r > 2$ 时的类似边界展开)和几个新结果:最一般 Drinfeld 模情况下的典范判别式定义,以及除子和判别式形式大小的描述。在 $(K, \infty) = (\mathbb{F}_{q}(T), \infty)$ 且 $r = 1$、$2$ 或 $3$ 的经典情况下,我们给出了此类形式对数的显式值。