交换有限链环上若干特殊矩阵的行列式

有限域上以及交换有限链环上的循环矩阵因其良好的代数结构与广泛应用而备受关注。在许多情况下，环上的此类矩阵与其扩张环上的对角矩阵有紧密联系。本文研究了具有剩余域 $\mathbb{F}_q$ 的交换有限链环 ${R}$ 上对角矩阵与循环矩阵的行列式。对所有 ${R}$ 中的元素 $a$ 以及所有正整数 $n$，确定了 ${R}$ 上行列式为 $a$ 的 $n\times n$ 对角矩阵的个数。随后，对所有 ${R}$ 中的单位元 $a$ 以及所有满足 $\gcd(n,q)=1$ 的正整数 $n$，给出了 ${R}$ 上行列式为 $a$ 的非奇异 $n\times n$ 循环矩阵的计数。在某些情形下，借助循环矩阵环与对角矩阵环之间的联系，确定了 ${R}$ 上具固定行列式的奇异 $n\times n$ 循环矩阵的个数。作为应用，简要讨论了交换有限主理想环上对角矩阵与循环矩阵的行列式。最后，提出了若干开放问题与猜想。