有限乘法阶的换位子

本文研究复数域 $\mathbb{C}$ 上矩阵的方程 $[A,B]^k = {\rm Id}_n$，利用 Lam 和 Leung 关于单位根之和的经典结论刻画了存在解的数对 $(k,n)$。随后，该问题被推广到任意含幺环 $S$ 上的矩阵环 $M_n(S)$，其中建立了关于 $1_S$ 的充分条件并给出了解的显式构造。在矩阵环之外，本文还研究了一般含幺环 $R$ 中方程 $[a,b]^n = 1$ 的结构推论，得到了一组决定环结构的幂等元。我们证明，在这些幂等元满足适当条件时，$[a,b]^n = 1$ 蕴含 $R \cong M_n(S)$（对于某个含幺环 $S$）。这些结果共同建立了一个连接换位子方程与识别全矩阵环经典判据的框架。