矩阵环中换位子的乘积

设 $R$ 是一个环，且 $n\ge 2$。我们讨论矩阵环 $M_n(R)$ 中的每个元素是否都是（加法）换位子 $[x,y]=xy-yx$ 的乘积的问题，其中 $x,y\in M_n(R)$。我们提供了一个例子，表明即使当 $R$ 是交换环时，这也不总是成立。然而，如果 $R$ 具有 Bass 稳定秩一，那么在各种附加条件下，$M_n(R)$ 中的每个元素都是三个换位子的乘积。进一步地，如果 $R$ 是一个具有无限中心的除环，那么 $M_n(R)$ 中的每个元素都是两个换位子的乘积。如果 $R$ 是一个域且 $a\in M_n(R)$，那么 $M_n(R)$ 中的每个元素都可以表示为 $[a,x][a,y]$ 形式元素的和，其中 $x,y\in M_n(R)$，当且仅当 $a$ 的极小多项式的次数大于 $2$。