将有限-无限矩阵表示为有限阶元素的交换子之积

设 $R$ 为含单位元 $1$ 的结合环,并考虑 $k\in \mathbb{N}$ 使得 $1+1+..+1=k$ 可逆。记 $\omega$ 为 $R$ 中任一 $k$ 次单位根,并令 $UT^{(k)}_{\infty}(R)$ 为对角元为 $1$ 的 $k$ 次根的上三角无限矩阵群。我们证明群 $UT_{\infty}(R)$ 中每个元素可表示为 $4k-6$ 个交换子之积,这些交换子均依赖于 $UT^{(k)}_{\infty}(R)$ 中阶为 $k$ 的元素的幂。若 $R$ 为复数域或实数域,我们证明在 $SL_n(R)$ 中以及在 Vershik-Kerov 群 over $R$ 的子群 $SL_{VK}(\infty,R)$ 中,这些群里的每个元素可分解为至多 $4k-6$ 个阶为 $k$ 的元素的交换子之积。