广义单位群的结构

设 $R$ 为含单位元的有限交换环，$U(R)$ 为其单位群。2005 年，El-Kassar 与 Chehade 给出了 $U(R)$ 的一个环结构，并由此将单位群推广为广义单位群 $U^{k}\left( R\right)$，其迭代定义为 $U^{k-1}(R)$ 的单位群，且 $U^{1}\left( R\right) =U(R)$。本文研究当 $R=\mathbb{Z}_{n}$ 时该群的结构。对任意 $k$ 的一般情形，我们给出了 $U^{k}\left(\mathbb{Z}_{n}\right)$ 分解为循环群直积的形式，并研究了这些群何时为布尔群与平凡群。我们还表明该分解结构与 Pratt 树素数直接相关。