环论：其非单位元为单位倍于 $\sqrt{\Delta(R)}$ 中元素的环

本文引入并研究了一种新型环类，称为{\it $U\sqrt{\Delta}$-环}。若环 $R$ 中每个非单位元均可写为单位与 $\sqrt{\Delta(R)}$ 中元素之积，则称 $R$ 为 $U\sqrt{\Delta}$-环，其中 $\sqrt{\Delta(R)}$ 由若干次方落入特殊子环 $\Delta(R)$ 的元素构成。我们确立了这些环的若干基本性质，具体而言，证明它们同时不可分解且 Dedekind-finite。我们还表明，多项式环 $R[x]$ 与拉普尔斯多项式环 $R[x, x^{-1}]$ 永不为 $U\sqrt{\Delta}$-环，而幂级数环 $R[[x]]$ 继承此属性。就左(右)阿基米德环而言，$U\sqrt{\Delta}$-环与 $UN$-环的条件等价，且这两种条件对大小为 $n\geq 1$ 的矩阵环 $M_n(R)$ 亦被保持。此外，对于交换环 $R$，$M_n(R)$ 为 $U\sqrt{\Delta}$-环当且仅当 $R$ 为局部环。进一步，我们刻画了群环 $RG$ 为 $U\sqrt{\Delta}$-环的条件，表明对局部可解群 $G$，当且仅当 $R$ 为 $U\sqrt{\Delta}$-环且 $G$ 为某个素数 $p \in J(R)$ 的局部有限 $p$-群时，$RG$ 为 $U\sqrt{\Delta}$-环。