单位元和仍为单位元的环

若一个环中单位元之和总为单位元或幂零元，则称其为*单位加性*环。例如，$k[X]$ 与 $k[X]/(X^2)$ 是单位加性的，但 $\mathbb Z$ 不是。我们证明了一个关于半群环中单位加性的广泛定理，其中表明仿射半群环 $A[M]$ 是单位加性的当且仅当 $A$ 是单位加性的且 $M$ 无非平凡可逆元。转向代数几何，我们证明代数闭域 $k$ 上的不可约仿射簇 $V$ 具有单位加性坐标环当且仅当任意多项式映射 $V \rightarrow k$ 都有根。这进而将 $\mathbb A^1_k$ 归入满足代数基本定理某种版本的那类簇中。具体到椭圆曲线，我们证明椭圆曲线的仿射坐标环总是单位加性的。单位加性概念引出了相关概念单位维数——即一个整环距离单位加性有多远？结果表明单位维数为 1 的环颇具趣味，因为它们包含数域的整数环、所有幂级数环以及大多数局部环。我们构造了具有任意单位维数的环，并证明在仿射情形下单位维数以上界受 Krull 维数限制。我们还构造了整环 $D$ 的*单位加性闭包*，即 $D$ 的分式域中最小的单位加性子环，作为 $D$ 中某乘法集的局部化。通篇中，我们与 PID、欧几里得整环以及 UU 性质等已被充分研究的结构建立了联系。