扭群环的单位及其与经典群环的关联

本文围绕一个经典问题:从有限群 $G$ 的整群环 $\mathbb{Z} G$ 的环同构类提取 $G$ 的性质。该问题通过一般地描述有限群的单元群 $\mathcal{U}( \mathbb{Z} G)$ 来考察。自 90 年代以来,已知若干著名的单位通用构造在 $\mathbb{Q} G$ 没有所谓例外单满像(如 $M_2 (\mathbb{Q})$)时,可生成 $\mathcal{U}(\mathbb{Z } G)$ 中有限指数的子群。然而,在存在后一类单像的情形下找到一种{\it 通用}构造仍是一大未决问题。本文中我们得到了这样的单位通用构造。此外,这一新构造还展现出新的性质,例如提供大秩的通用自由子群。作为应用,我们对几类群正面回答了近期关于阿贝尔化 $\mathcal{U}(\mathbb{Z} G)^{ab}$ 的秩与周期元素的猜想。为得到这一切,我们研究了某正规子群 $N$ 被群 $G$ 扩张所得的扩张 $\Gamma$ 在整环 $R$ 上的群环 $R \Gamma$。更确切地说,我们得到了 $\Gamma$ 在 $R$ 的分式域 $F$ 上的(扭)群代数依各项 $G$ 在 $F$ 的有限扩张上的扭群环给出的直和分解。此外,还获得了相关投影的核与余核的具体信息。在此过程中,我们也开启了通过扭群环对扭群环的单位群及 $\mathcal{U}( R\Gamma)$ 的研究。