有限交换环上矩阵的幂和

本文处理计算矩阵环 $\mathbb{M}_d(R)$（$d>1$，$R$ 为有限交换环）中所有元素的 $k$-次幂之和的问题。我们在 $R=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的情况下完全解决该问题，并给出当 $R$ 为任意有限交换环时对于许多 $k$ 和 $d$ 值计算该和的结果。最后，基于计算证据和本文证明的一些技术结果，我们猜想矩阵环 $\mathbb{M}_d(R)$ 中所有元素的 $k$-次幂之和总是 $0$，除非 $d=2$、$\textrm{card}(R) \equiv 2 \pmod 4$、$1<k\equiv -1,0,1 \pmod 6$ 且 $R \setminus \{0\}$ 中唯一满足 $2e =0$ 的元素 $e$ 是幂等的，在此情况下该和为 $\textrm{diag}(e,e)$。