多项式环的 Waring 问题和指数的数字和

设 $F$ 为特征 $p>0$ 的代数闭域。在本文中，我们发展了一些方法，将 $F[t]$ 中的任意元素表示为 $k$ 次幂之和，其中 $k\in\mathbb{N}$ 与 $p$ 互素。利用这些方法，我们根据 $k$ 的 $p$ 进制展开的数字和，建立了所需 $k$ 次幂个数的界。作为一个具体应用，我们证明了对任意固定的素数 $p>2$ 和任意 $\epsilon>0$，所需的 $(p^r-1)$ 次幂的个数作为 $r$ 的函数是 $\mathcal{O}\left(r^{(2+\epsilon)\ln(p)}\right)$。