关于多项式环的高阶毕达哥拉斯数

我们证明了当 $K$ 为形式实域、$n\geq2$ 且 $s\geq 1$ 时，多项式环的高阶毕达哥拉斯数为无穷，即 $p_{2s}(K[x_1,x_2,\dots,x_n])=\infty$。这几乎完全解决了一个古老问题 \cite[Problem 8]{cldr1982}。剩余的开放情形恰为 $n=1$ 且 $s>1$。此外，我们详细研究了作为二次型四次幂之和的二元八次形式的锥。我们确定了它的面结构及其代数边界。这也可视为 $\mathbb{P}^1$ 的第二个 Veronese 嵌入上线性形式的四次幂之和。作为结果，我们反驳了 Reznick \cite[Conjecture 7.1]{reznick2011} 的一个猜想，该猜想称若二元形式 $f$ 是四次幂之和，则它可写为 $f=f_1^2+f_2^2$，其中 $f_1,f_2$ 为非负形式。