用 $2^n+1$ 界定域的毕达哥拉斯数

给定正整数 $n$，给出了域的一个充分条件，可将其毕达哥拉斯数（Pythagoras number）界定在 $2^n+1$ 以内。对于 $n=1$，该条件由 $\mathbb{R}$ 上的迭代形式幂级数域上的曲线函数域，以及 $\mathbb{R}(\!(t_0,t_1)\!)$ 的有限域扩张所满足。在这两种情况下，均可重新得到毕达哥拉斯数的上界 $3$。此处提出的新方法可能有助于更一般地确立 $2^n+1$ 作为 $\mathbb{R}(\!(t_1,\dots,t_n)\!)$ 上曲线函数域以及 $\mathbb{R}(\!(t_0,\dots,t_n)\!)$ 有限域扩张的毕达哥拉斯数上界。