双二次域中整数环的毕达哥拉斯数

我们考察全实双二次数域 $K$ 中整数环 $\mathcal{O}_K$ 的毕达哥拉斯数 $\mathcal{P}(\mathcal{O}_K)$。我们证明已知上界 $7$ 在一大类自然的此类域无限族中被达到。相反，对几乎所有域 $\mathbb{Q}(\sqrt5, \sqrt{s})$ 我们证明 $\mathcal{P}(\mathcal{O}_K)=5$。进一步我们证明对除七个域 $K$ 外的所有域 $5$ 是下界，且 $6$ 在渐近意义下是下界。