复双二次域与CM域中的整平方和

设$K$为具有整数环$\mathcal{O}_{K}$的复双二次域。对于$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-m}$, $\sqrt{n})$，其中$m \equiv 3 \pmod 4$且$n \equiv 1 \pmod 4$，我们证明每个代数整数都可写为整平方和。利用此结论，我们证明对任意复双二次域$K$，$4\mathcal{O}_K$的每个元素都可写为五个整平方和。此外，我们证明任意CM域的整数环的毕达哥拉斯数至多为五。而且，我们给出两类复双二次域，分别满足$p(\mathcal{O}_{K})= 3$和$p(4\mathcal{O}_{K})=3$。这里，$p(\mathcal{O}_{K})$是$K$的整数环的毕达哥拉斯数，$p(4\mathcal{O}_{K})$是使得$4\mathcal{O}_{K}$的每个元素都可写为$t$个整平方和的最小正整数$t$。