实二次数域上的四平方和

Lagrange和Jacobi的著名结果证明，每个 $m \in \mathbb N$ 均可表示为四个整数平方之和，且此类表示的个数 $r(m)$ 可由关于 $m$ 的显式公式给出。本文中，我们证明四平方和具有普适性的实二次数域仅有 $\mathbb Q(\sqrt{5})$。我们给出了 $K= \mathbb Q (\sqrt{2})$ 和 $K= \mathbb Q(\sqrt{5})$ 时 $r(m)$ 的显式公式。随后，我们考虑任意实二次数域上四平方和的theta级数，给出了Eisenstein系数的显式上下界。最后，我们给出了 $\mathbb Q (\sqrt{3})$、$\mathbb Q (\sqrt{13})$ 和 $\mathbb Q (\sqrt{17})$ 上四平方和完全theta级数分解的实例。