模 n 整数环上 Waring 问题的一个变体

我们研究了 $\mathbb{Z}_n$（即模 $n$ 的整数环）上 Waring 问题的一个变体：对于固定的整数 $k \geq 2$，最少需要多少个 $k$ 次幂 $m$，才能使得 $x \equiv x_1^k + \dots + x_m^k \pmod{n}$ 对每个 $x \in \mathbb{Z}_n$ 都有解？仅使用初等方法，我们对指数 $k \leq 10$ 完整回答了这个问题，并进一步讨论了一些中间情况，例如对 $n$ 的值进行分类，使得 $\mathbb{Z}_n$ 中的每个元素都能表示为三个平方数之和。Hensel 定理在 $p$-adic 整数上发挥了关键作用。最后，我们给出了该问题在环 $\mathbb{Z}_n^d$ 上的 Erd\H os-Falconer 距离问题中的一个应用。