环中幂等元的交换子与反交换子

我们证明，环 $R$ 具有两个幂等元 $e,e'$，其交换子 $ee'-e'e$ 可逆，当且仅当 $R \cong {\mathbb M}_2(S)$，其中 $S$ 是一个 $1$ 可表为两个单位之和的环。在此情形下，反交换子 $ee'+e'e$ 自动可逆，因此我们也研究具有此类可逆反交换子的更广泛的环类。具有上述性质之一的单阿廷环 $R$（以及其他相关的矩阵环类）被完全确定。在此研究中，我们还得到了关于一般 $2\times 2$ 矩阵环的若干新判据。例如，$R$ 是这样一个矩阵环当且仅当它有一个可逆交换子 $er-re$，其中 $e^2=e$。