交换环中 Erdős-Burgess 常数的存在性

设 $R$ 为交换幺环。$R$ 中的幂等元是指满足 $e^2=e$ 的元素 $e\in R$。与环 $R$ 相关的 Erdős-Burgess 常数是最小的正整数 $\ell$（若存在），使得对任意给定的 $\ell$ 个（不必互异）$R$ 中元素，记为 $a_1,\ldots,a_{\ell}\in R$，必存在非空子集 $J\subset \{1,2,\ldots,\ell\}$ 使得 $\prod\limits_{j\in J} a_j$ 为幂等元。本文中，我们证明除一种非常特殊形式的无限交换环外，环 $R$ 的 Erdős-Burgess 常数存在当且仅当 $R$ 是有限环。