交换环的点积图的性质

设 $R$ 为含幺交换环，$n\geq1$ 为整数。令 $R^{n}=R\times\cdots\times R~(n~次)$。\textit{全点积}图，记为 $TD(R,n)$，是一个以 $R^{n}-\{(0,0,\ldots,0)\}$ 中的元素为顶点，两个不同顶点 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 相邻当且仅当 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0\in R$ 的简单图，其中 $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ 表示 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的点积。本文中，我们基于 $TD(R,n)$ 和 $TD(S,n)$ 的结构找到了 $TD(R\times S,n)$ 的结构。此外，我们给出了该图顶点的度数，并确定了其何时为正则图。设 $\mathbb{F}$ 为有限域。我们证明了若 $TD(\mathbb{F},n)\simeq TD(R,m)$，则 $n=m$ 且 $R\simeq\mathbb{F}$。还给出了一系列关于支配数的结果。进而，我们给出了关于 $TD(R,n)$ 的团和独立数的一些结果。证明了环 $R$ 是有限的当且仅当其独立数是有限的。最后，我们对这一类中的所有平面图进行了分类。