交换环的零化理想图 I

设$R$是一个交换环，${\Bbb{A}}(R)$是其具有非零零化子的理想集。在本文及其续篇中，我们引入并研究了$R$的{\it 零化理想图}，记为${\Bbb{AG}}(R)$。它是一个（无向）图，顶点集为${\Bbb{A}}(R)^*:={\Bbb{A}}(R)\setminus\{(0)\}$，两个不同顶点$I$和$J$相邻当且仅当$IJ=(0)$。首先，我们研究了${\Bbb{AG}}(R)$的一些有限性条件。例如，证明了如果$R$不是整环，则${\Bbb{AG}}(R)$在顶点上具有升链条件（分别地，降链条件）当且仅当$R$是诺特环（分别地，阿廷环）。此外，当$R$是阿廷环或可分解环时，${\Bbb{AG}}(R)$的顶点集与$R$的非零真理想集具有相同的基数。这得出，对于环$R$，${\Bbb{AG}}(R)$有$n$个顶点（$n\geq 1$）当且仅当$R$恰好有$n$个非零真理想。接下来，我们研究了${\Bbb{AG}}(R)$的连通性。证明了${\Bbb{AG}}(R)$是连通图且$diam(\Bbb{AG})(R)\leq 3$，并且如果${\Bbb{AG}}(R)$包含一个圈，则$gr({\Bbb{AG}}(R))\leq 4$。此外，刻画了图${\Bbb{AG}}(R)$是完全图或星图的环，以及${\Bbb{AG}}(R)$的每个顶点都是素理想（或极大理想）的环。在第二部分中，我们将研究零化理想图的直径和着色。